如图,平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线y =- √3/3x+4√3/3与x轴相交于点A,并经过点B,且OB=2,
(1)求A,B两点坐标
(2)在线段OA上,点F在线段EA上,且EF=2,分别过点E,F作OA的垂线EM,FN,点M,N在△OAB的边上,设OE=x,那么当x为何值时.在△OAB内且夹在直线EM,FN之间部分的面积为△OAB面积的一半.

直线y=-√3/3x+4√3/3与x轴相交于点A,并经过点B,且OB=2,
(1)求A,B两点坐标
直线与x轴的交点为A，则：
y=-√3/3x+4√3/3=0
所以，x=4
故，A点坐标为(4,0)
因为直线的斜率k=-√3/3，所以，直线与x轴之间的夹角=30°（因为tan30°=√3/3），即图中∠OAB=30°
而由上面解得OA=4，已知OB=2
所以，△OAB为直角三角形
所以，∠AOB=90°-30°=60°。而OB=2
所以，B点横坐标=2*cos60°=2*(1/2)=1
B点纵坐标=2*sin60°=2*(√3/2)=√3
所以，B点坐标为(1,√3)

(2)在线段OA上,点F在线段EA上,且EF=2,分别过点E,F作OA的垂线EM,FN,点M,N在△OAB的边上,设OE=x,那么当x为何值时.在△OAB内且夹在直线EM,FN之间部分的面积为△OAB面积的一半
由(1)知，△OAB为直角三角形，且OA=4,OB=2，∠OAB=30°
所以，AB=OA*cos30°=4*(√3/2)=2√3
所以，△OAB的面积=(1/2)*(2√3)*2=2√3…………………………（1）
i）当点E位于(0,1)之间时（即点M在OB段上）
因为OE=x，EF=2，所以：AF=4-2-x=2-x
且，EM=OE*√3=√3x，FN=(√3/3)AF=(2-x)(√3/3)
所以，△OEM的面积=(1/2)*x*(√3x)=√3x^/2
△AFN的面积=(1/2)*(2-x)*[(2-x)(√3/3)]=√3(2-x)^/6
要使得△OAB夹在EM、FN中间的部分为△OAB的一半，那么：
△OEM的面积+△AFN的面积=△OAB的一半
===> [√3x^/2]+[√3(2-x)^/6]=√3
===> 3x^+(2-x)^=6
===> 2x^-2x-1=0
===> x=[2±√(4+8)]/4=(1±√3)/2
很显然，当取负号时，x<0，不符合题意，舍去。
当取正号时，x=(1+√3)/2>1,与开始所界定的“点E位于(0,1)之间”条件相矛盾，也不符合题意，舍去。

ii）当点E位于(1,2)之间时（即点M、N均在AB段上）
因为OE=x，EF=2，所以：AF=4-2-x=2-x，AE=4-x
且，EM=AE*(√3/3)=(4-x)√3/3，FN=(√3/3)AF=(2-x)(√3/3)
所以，△AEM的面积=(1/2)*(4-x)*[(4-x)√3/3]=√3(4-x)^/6
△AFN的面积=(1/2)*(2-x)*[(2-x)(√3/3)]=√3(2-x)^/6
而，四边形EFNM的面积=△AEM的面积-△AFN的面积=△OAB的一半
===> √3(4-x)^/6-√3(2-x)^/6=√3
===> (4-x)^-(2-x)^=6
===> (4-x+2-x)(4-x-2+x)=6
===> (6-2x)*2=6
===> 6-2x=3
===> x=3/2