证：（xy+yz+xz)*[1/(x+y)^2+1/(z+y)^2+1/(x+z)^2]>=9/4

证明：（xy+yz+xz)*[1/(x+y)^2+1/(z+y)^2+1/(x+z)^2]>=9/4.
条件是x,y,z是非负实数.

证明 设a=y+z, b=z+x,c=x+y.则2x=b+c-a,2y=c+a-b,2z=a+b-c。
显然a,b,c三线段可构成一三角形。
对所证不等式作置换为:
[2(bc+ca+ab)-(a^2+b^2+c^2)]*(1/a^2+1/b^2+1/c^2)≥9. (1)
不等式(1)有许多证法,下提供两种.
证法一: (1)式等价于
(2Σbc-Σa^2)*(Σb^2*c^2)≥9(abc)^2
展开化简整理为
-Σa^4*(b^2+c^2)+2Σb^3*c^3+2abc*Σa^2*(b+c)-12(abc)^2≥0
因为所证不等式是全称对的，不失一般性,设a=max(a,b,c)，则上式分解为:
a(b^2+c^2)(b+c-a)*(a-b)*(a-c)+bc(5a^2-ab-ac-bc)*(b-c)^2≥0.
因为 a-b≥0,a-c≥0,b+c-a>0,5a^2-ab-ac-bc>0,所以上式成立。

证法二: 所证不等式等价于
[4x/(y+z)+4y/(z+x)+4z/(x+y)-6]+[4yz/(x+y)^2+4zx/(z+y)^2+4xy/(x+z)^2-3]≥0.
<==> Σ2(y-z)^2/(x+y)(z+x)-Σ(y-z)^2/(y+z)^2≥0
<==> Σ(y-z)^2*[2(y+z)^2-(z+x)*(x+y)]/(y+z)≥0
因为所证不等式是全称对的，不失一般性,设x<y<z。所以只需证
(z-x)^2*[2(z+x)^2-(y+z)*(x+y)]/(z+x)+(x-y)^2*[2(x+y)^2-(y+z)*(z+x)]/(x+y)≥0.
==> (z-x)^2*[2(z+x)^2-(y+z)*(x+y)+2(x+y)^2-(y+z)*(z+x)]/(z+x)≥0.
==> (z-x)^2*[(y-z)^2+4x^2+2xy+2zx]/(z+x)≥0. 显然成立。