解:
1.
F'(X)=2X^2-4AX-3=2(X-A)^2-3-2A^2
︱A︱≤1/4,-1/4 ≤A≤1/4
F'(-1)=2+4A-3=4A-1≤0
F'(1)=2-4A-3=-4A-1≤0
所以F(X)在（－1，1）内是减函数
若Y=F(X)在（－1，1）内有且只有一个极值点
表示F'(X)=0在（－1，1）内有且只有一个解
当A≤-1时,只要满足:F'(-1)<0和F'(1)>0
解得:A≤-1
当-1<A≤1时,只要满足:F'(-1)*F'(1)<0
解得:-1<A<-1/4或1/4<A≤1
当A>1时,只要满足:F'(-1)>0和F'(1)<0
解得:A>1
综上所述:
A的取值范围 (-∞,-1/4)∪(1/4,+∞)
2.
证明:
1`当N=1时,3^(4N+2)+5^(2N+1),=3^6+5^3=854,能被14整除
2`假设当N=K时成立,即3^(4K+2)+5^(2K+1)能被14整除
当N=K+1时,3^(4N+2)+5^(2N+1)=3^(4(K+1)+2)+5^(2(K+1)+1)
=3^(4K+2+4)+5^(2K+1+2)
=3^(4K+2)*81+5^(2K+1)*25
=3^(4K+2)*(25+56)+5^(2K+1)*25
=[3^(4K+2)+5^(2K+1)]*25+3^(4K+2)*56
因为3^(4K+2)+5^(2K+1)能被14整除,3^(4K+2)*56也能被14整除
所以[3^(4K+2)+5^(2K+1)]*25+3^(4K+2)*56能被14整除
所以当N=K+1成立
证毕.
