已知整数a、b、c、d满足0<a<b<c<d 且a、b、c成等差 b、c、d成等比 d-a=90 a、b、c、d为偶数 求a+b+c+d

已知整数a、b、c、d满足0<a<b<c<d 且a、b、c成等差 b、c、d成等比 d-a=90
a、b、c、d为偶数 求a+b+c+d .
设b=2xa'+2xe,a=2a'x,(a',e)=1
则c=2xa'+4xe,d=90+2xa'
b、c、d成等比得
(90+2xa')(2xa'+2xe)=(2xa'+4xe)^2
得，(45+xa')(a'+e)=(xa'+2xe)(a'+2e)
得，45(a'+e)=xe(3a'+4e) （1）
有(a'+e,e)=(3a'+4e,a'+e)=1
则x/(a'+e)为整数,
所以45/[e(3a'+4e)]= x/(a'+e)为整数。
1）1<e,所以3a'+4e=9，e=5矛盾。
2）1<e,所以3a'+4e=15，e=3, a'=1。
3）e=1，3a'+4=9，15，45。矛盾。
所以e=3, a'=1代入（1）得x=4。
a =8，b=32，c=56，d=98，
a+b+c+d=194.