如图，截面aef刚好过四面体ABCD的内切球的球心O，被截V（A-BEFD）=V（A-EFC），四棱锥A-BEFD的表面积记为 S1，三棱锥A-EFC的表面积记为S2。求证：S1=S2

需要具体过程

如图
设四面体ABCD的表面积为S，那么：S1+S2=S…………………（1）
设四面体ABCD的内切球半径为R，分别连接OA、OB、OC、OD(为清晰起见，图中未连)。则又得到四个三棱锥：O-ABC、O-ABD、O-ACD、O-BCD
根据“椎体的体积=(1/3)*底面积*高”，得到：
四面体ABCD的体积V(A-BCD)=V(O-ABC)+V(O-ABD)+V(O-ACD)+V(O-BCD)
=(1/3)*S△ABC*R+(1/3)*S△ABD*R+(1/3)*S△ACD*R+(1/3)*S△BCD*R
=(1/3)*(S△ABC+S△ABD+S△ACD+S△BCD)*R
=(1/3)S*R……………………………………………………（2）
同理，分别连接AO、OB、OD、OE、OF，得到0-ABD、O-ABE、O-ADF、O-BEFD四个棱锥，那么根据上面的过程有：
四棱锥A-BEFD的体积V(A-BEFD)=(1/3)S1*R………………（3）
而已知V（A-BEFD）=V（A-EFC），所以：
V(A-BEFD)=(1/2)V(A-BCD)
将(2)(3)代入上式，得到：
(1/3)S1*R=(1/2)*[(1/3)S*R]
===> S1=S/2…………………………………………………（4）
联立(1)(2)得到：
S1=S2=S/2