问题: 巨难数列题
a1+a2+...+an<M
an=(2^n)/[(2^n-1)^2]
求Mmin
解答:
a(n+1)=2^(n+1)/[2^(n+1)-1]^2
所以a(n+1)/an=(1/2)*[2^(n+1)-2]/[2^(n+1)-1]
则当n足够大时.此值为1/2.即lim(n->∞)a(n+1)/an=1/2.
我们知道a1=2,a2=4/9,a3=8/49....n太小时.后一项都远不到前一项的1/2.当n足够大,也不知道是那一项后,an可以看作公比为1/2的等比数列,比如N=1000时.(2^1000应该足够大了)
就应该是a1000+...+an的极限为2*a1000.
从计算机模拟知n<1000时，M在2.7-2.8之间.
又a1000=2^1000/(2^1000-1)^2≈1/2^1000可以说是极其小的,可以忽略不计,所以Mmin=2.8.(猜想Mmin可能为e).
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