问题: 已知正六棱锥的底面边长是4 cm,侧棱长是8 cm,求它的侧面和底面所成的二面角
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解答:
如图
P-ABCDEF为正六棱锥，O是底面正六边形ABCDEF的中心。连接OA、OB、OP，过O作边AB的垂线，垂足为Q。则：
因为ABCDEF为正六边形，所以：△AOB为等边三角形。
所以：OA=OB=AB=4
又因为OQ⊥AB，所以：Q是AB中点
所以，AQ=BQ=2
因为OP⊥面ABCDEF，所以：OP⊥OA,OP⊥AB
所以，△OPA为直角三角形。且，AB⊥面OPQ
所以，PQ⊥AB
则，∠OQP为六棱锥侧面与底面所成的角。
在Rt△OPA中，PA=8,OA=4,所以，OP=√(64-16)=4√3
而，OQ=OA*(√3/2)=4*(√3/2)=2√3
所以，在Rt△OPQ中，tan∠OQP=OP/OQ=(4√3)/(2√3)=2
所以，∠OQP=arctan2
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