问题: 1.n+2.(n-1)+3.(n-2)+……+n.1=n.(n+1).(n+2)/6
请用数学归纳法证明！
解答:
证明:1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+…+n*1=n*(n+1)*(n+2)/6
1`当n=1时
左边=1*1=1
右边=1*(1+1)*(1+2)/6=1
等式成立.
2`假设当n=k时等式成立,即
1*k+2*(k-1)+3*(k-2)+…+k*1=1*k+2*(k-1)+3*(k-2)+…+(k-1)[k-(k-2)]+k*[k-(k-1)]=k*(k+1)*(k+2)/6
当n=k+1时
左边=1*(k+1)+2*(k-1+1)+3*(k-2+1)+…+k[k+1-(k-2+1)]+(k+1)*[k+1-(k-1+1)]
=1*(k+1)+2*(k-1+1)+3*(k-2+1)+…+k*(1+1)+(k+1)*1
=1*(k+1)+2*(k-1+1)+3*(k-2+1)+…+k*1+k+k+1
=[1*k+2*(k-1)+3*(k-2)+…+k*1]+[1+2+3+…+k+(k+1)]
=k*(k+1)*(k+2)/6+(k+1)*(k+2)/2
=(k+1)*(k+2)*(k+3)/6
右边=(k+1)*(k+2)*(k+3)/6
所以左边=右边
综上所述:1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+…+n*1=n*(n+1)*(n+2)/6,即命题得证
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