问题: 几何题
三角形三边成等差数列，它的最大角与最小角差为90度，求三角形三边长之比.
解答:
三角形三边成等差数列，它的最大角与最小角差为90度，求三角形三边长之比.
解 设三角形三边为a,b,c，且a>b>c，则 A-C=90°，a+c=2b.
cos(A-C)=cosA*cosC+sinA*sinC=0
由正弦，余弦定理代入得:
2a^2*c+a^2*b^2+b^2*c^2=a^4+c^4
将2b=a+c代入化简得:
3a^4-2a^3*c-10a^2*c^2-2a*c^3+3c^4=0
记a/c=t，则3t^4-2t^3-10t^2-2t+3=0
<==> (t+1)^2*(3t^2-8t+3)=0
解得:t=(4+√7)/3, t=(4-√7)/3不合题意舍去。
故 a/c=(√7+1)/(√7-1) ，所以
a:b:c=(√7+1):√7:(√7-1).
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