问题: 设x+y+z=1,求√(x^2+xy+y^2)+√(y^2+yz+z^2)+√(z^2+zx+x^2
设x+y+z=1,求√(x^2+xy+y^2)+√(y^2+yz+z^2)+√(z^2+zx+x^2)的最小值
解答:
1.
√(x^2+xy+y^2)≥(√3/2)(x+y)
<==>
(x^2+xy+y^2)≥(3/4)(x^2+2xy+y^2)
<==>
(1/4)(x^2-2xy+y^2)≥0.
同理
√(y^2+yz+z^2)≥(√3/2)(y+z)
√(z^2+zx+x^2)≥(√3/2)(z+x)
2.
√(x^2+xy+y^2)+√(y^2+yz+z^2)+√(z^2+zx+x^2)≥
≥(√3/2)[(x+y)+(y+z)+(z+x)]≥√3
3.
当x=y=z=1/3时,
√(x^2+xy+y^2)+√(y^2+yz+z^2)+√(z^2+zx+x^2)=√3
==>
√(x^2+xy+y^2)+√(y^2+yz+z^2)+√(z^2+zx+x^2)的最小值=√3
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