问题: 三角形问题
三角形问题
在△ABC中，满足 (sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)=√3的充要条件是A,B,C三内角成等差数列.
解答:
三角形问题
在△ABC中，满足 (sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)=√3的充要条件是A,B,C三内角成等差数列.
证明 因为A,B,C成等差数列，设2B=A+C，则B=60°,A+C=120°.
sinA+sinB+sinC-√3*(cosA+cosB+cosC)
=sin(A-60°)+sin(B-60°)+sin(C-60°)
=sin(60°-C)+sin(C-60°)=0
所以(sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)=√3.
若(sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)=√3.
据三角形恒等式:
sinA+sinB+sinC=s/R, cosA+cosB+cosC=(R+r)/R.
即 s=√3*(R+r). (1)
s=2R*sinB+r*cot(B/2) (2)
对比(1)与(2)式得:sinB=(√3)/2,r=√3.
所以B=60°，所以2B=A+C，故A,B,C成等差数列.
版权及免责声明
1、欢迎转载本网原创文章，转载敬请注明出处：侨谊留学（www.goesnet.org）；
2、本网转载媒体稿件旨在传播更多有益信息，并不代表同意该观点，本网不承担稿件侵权行为的连带责任；
3、在本网博客/论坛发表言论者，文责自负。
