己知a,b,c∈R+，且ab+bc+ac=1, 求证：
a/[a+√(1+a^2)]+b/[b+√(1+b^2)]+c/[c+√(1+c^2)]≤1
证明 因ab+bc+ac=1，所以
a/[a+√(1+a^2)]=a/[a+√(a+b)(a+c)],
b/[b+√(1+b^2)]=b/[b+√(a+b)(b+c)],
c/[c+√(1+c^2)]=c/[c+√(b+c)(a+c)].
首先证三个局部不等式，
a/[a+√(a+b)(a+c)] ≤a(b+c)/[2(bc+ca+ab)] (1)
<==> 2bc+2ca+2ab=<a(b+c)+(b+c)*√(a+b)(a+c)
<==> 2bc+ab+ac≤(b+c)*√(a+b)(a+c)
两边平方为:(2bc+ab+ac)^2≤(b+c)^2*(a+c)(a+b)
<==> (bc+ac+ab)*(b-c)^2≥0. 所以(1)成立。
同理得:
b/[b+√(a+b)(b+c)] ≤b(a+c)/[2(bc+ca+ab)] (2)
c/[c+√(b+c)(a+c)] ≤c(a+b)/[2(bc+ca+ab)] (3)
(1)+(2)+(3) 得
a/[a+√(a+b)(a+c)]+b/[b+√(a+b)(b+c)]+c/[c+√(b+c)(a+c)]
≤a(b+c)/[2(bc+ca+ab)]+b(a+c)/[2(bc+ca+ab)]+c(a+b)/[2(bc+ca+ab)]=1。
故不等式获证。
