1 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,若AB=AD=2,AA1=根号3,AD垂直DC, AC垂直BD.一 求证:BD垂直A1C1.二 求二面角A1-BD-C1的大小.
2 在四棱锥P-ABCD中,PA垂直矩形ABCD,PA=AD=ａ，Ｍ，Ｎ分别是ＡＢ，ＰＣ的中点．一：求证：平面ＭＮＤ垂直平面ＰＣＤ．二：若
ＡＢ＝根号ａ，求二面角Ｎ－ＭＤ－Ｃ的大小．
　

1.证明:因为BD⊥AC,AC∥A1C1,所以BD⊥A1C1

设AC与BD的交点为O,因为是直四棱柱,所以A1A⊥ABCD,
A1O在平面ABCD的投影是AO,因为BD⊥AO,所以A1O⊥BD,
同理可证:C1O⊥BD
所以∠A1OC1就是二面角A1-BD-C1
AB=AD=BC=2,所以AC=2√2,AO=√2,AA1=√3,所以A1O=√5
同理可得C1O=√5,A1C1=2√2
cos∠A1OC1=(A1O^2+C1O^2-A1C1^2)/(2A10*C1O)=(5+5-8)/(2√5*√5)=1/5
所以二面角大小是arccos(1/5)

2.
ＡＢ＝根号ａ?
我改了一下:AB=√2a
PM^2=PA^2+AM^2,CM^2=BC^2+BM^2
因为PA=AD=BC,AM=BM
所以PM^2=CM^2,即PM=CM,N是PC的中点,所以MN⊥PC
设AC与BD的交点为O,ABCD是矩形,所以AC=BD,AO=BO
PA垂直平面ABCD,NO//PA,所以NO⊥平面ABCD,NA^2=NO^2+AO^2,
NB^2=NO^2+BO^2,AO=BO,所以NA^2=NB^2,即NA=NB,M是AB的中点,所以MN⊥AB,AB//CD,所以MN⊥CD,所以MN⊥平面PCD
所以平面MND⊥平面PCD


过O作OE⊥BD交BD于E,连接NE,因为NO⊥平面ABCD,NE在平面ABCD的投影是OE,所以NE⊥BD,所以∠NEO就是二面角N-BD-C
OM=(1/2)BC=(1/2)a,OD=(1/2)BD=(√3a)/2,DM=√6a/2
在三角形OMD内,根据面积相等得:DM*OE=OM*(1/2)AB
所以OE=OM*(1/2)AB/DM=√3a/6
在直角三形NOE中,NO=(1/2)PA=(1/2)a,OE=√3a/6
tan∠NEO=NO/OE=(1/2)a/(√3a/6)=√3
所以∠NEO=60度
即二面角Ｎ－ＭＤ－Ｃ的大小是60度