在△ABC中，D是AB边上的中点，点E，F分别在CA，BC上。求证：
S(△ADE)+S(△BDF)≥S(△DEF).

在△ABC中，D是AB边上的中点，点E，F分别在CA，BC上。求证：
S(△ADE)+S(△BDF)≥S(△DEF).

证明 设CE/CA=x，CF/CB=y，显然0<x≤1, 0<y≤1. 则
S(△CEF)=xy*S(△ABC)/2;
S(△ADE)=[(1-x)*AD*AC*sinA]/2=(1-x)*S(△ABC)/4;
S(△BDF)=[(1-y)*BD*BC*sinB]/2=(1-y)*S(△ABC)/4.
由于所证不等式:S(△ADE)+S(△BDF)≥S(△DEF) 等价于
2[S(△ADE)+S(△BDF)]≥S(△ABC)-S(△CEF).
<==> 1-x-y+xy≥0 <==> (1-x)*(1-y) ≥0, 显然成立。
所以S(△ADE)+S(△BDF)≥S(△DEF) 成立.
当E点与A重合[或者F点与B重合] 时等号成立。

附证
由于D到EF的距离等于A,B到EF的距离之和的一半,所以有
S(△AEF)+S(△BEF)=2S(△DEF) (1)
因为有 S(△AEF)<S(△AEB)，S(△BEF)<S(△BFA)
故得:S(△DEF)<[S(△AEB)+S(△BFA)]/2=S(△ADE)+S(△BDF).