问题: 设x1 x2 ……xn属于R+ x1+x2+……+xn=1求证
设x1 x2 ……xn属于R+ 且x1+x2+……+xn=1求证
x1^2/(1+x1) +x2^2/(1+x2)+……+xn^2/(1+xn)≥
1/(n+1)
解答:
设x1 x2 ……xn属于R+ 且x1+x2+……+xn=1求证
x1^2/(1+x1)+x2^2/(1+x2)+……+xn^2/(1+xn)≥1/(n+1) (1)
证明 据柯西不等式得:
(1+x1+1+x2+…1+xn)*[x1^2/(1+x1)+x2^2/(1+x2)+……+xn^2/(1+xn)]≥(x1+x2+…+xn)^2
<==>(1+n)*[x1^2/(1+x1) +x2^2/(1+x2)+……+xn^2/(1+xn)]≥1
<==> x1^2/(1+x1) +x2^2/(1+x2)+……+xn^2/(1+xn)≥1/(1+n).
为何重复提问？
不等式(1)等价于
n/(n+1)>=x1/(1+x1)+x2/(1+x2)+……+xn/(1+xn) (2)
1/(1+x1)+1/(1+x2)+……+1/(1+xn)>=n^2/(n+1) (3)
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