周长面积
在ΔABC中，A=3B,C为钝角, 三边长都是整数，试周长的最小值。

在ΔABC中，∠A=3∠B,∠C为钝角, 三边长都是整数，试求周长的最小值。

解 设BC=a,CA=b,AB=c，y/x=(c^2+a^2-b^2)/(ac) ，
由余弦定理得:
2cosB=(c^2+a^2-b^2)/(ac) (1)
再由正弦定理得:
a/b==sin3B/sinB=cos2B+2(cosB)^2=4(cosB)^2-1=(y^2-x^2)/x^2
c/b=sin4B/sinB=4cosB*cos2B=(2cosB)^3-4cosB=y(y^2-2x^2)/x^3
故a/[x(y^2-x^2)]=b/x^3=c/[ y(y^2-2x^2)] 。
我们需求ΔABC周长2s=a+b+c的最小值，则有
a=x(y^2-x^2) ，b=x^3，c= y(y^2-2x^2)
2s= x(y^2-x^2) +x^3+y(y^2-2x^2)=y(y+2x)(y-x) 。
因为∠C为钝角，则90°<180°-4∠B<180°，0<∠B<22.5°
由此有 2cos22.5°<2cosB=y/x<2，<==> 1.84x<y<2x。
满足上式的整点(x,y) 在射线:y=1.84x与y=2x所夹的区域内，
这时必须满足:2x-1,84x>1，所以x≥7，那么得:x=7，y=13。
验证得:b=343，a=840，c=923.
故ΔABC周长2s=a+b+c的最小值为:343+840+932=2106.