问题: ??
设A,B是正定矩阵证明AB是正定矩阵的充要条件是A,B可交换
解答:
1.
设AB是正定矩阵,则
AB=(AB)^t=B^tA^t=BA
2.
设AB=BA
ⅰ.
B是正定矩阵
==>
任意n维向量X,X=y1+y2+..yk,
其中B(yi)=λiyi,λi>0,λi≠λj.
而且有性质:
(yi)^t(yj)=0,i≠j.
ⅱ.
上面的B(A(yi))=A(B(yi))=λiA(yi)
根据上面的性质得:
(yi)^t(A(yj))=0,i≠j.
ⅲ.
任意n维向量X,X=y1+y2+..yk,
根据上面的结果得:
X^tABX=(y1+y2+..yk)^tAB(y1+y2+..yk)=
=λ1(y1)^tA(y1)+λ2(y2)^tA(y2)+...+λk(yk)^tA(yk)>0
所以AB是正定矩阵.
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