对一般的n元实二次型f＝x^tAx，其中x＝（x1,x2,……)^t证明：f在满足条件(x1)^2+(x2)^2+……＝1时的最大值恰为矩阵A的最大特征值

1.
A为实对称矩阵,则有正角矩阵P,使
A=P^t*diag(λ1,λ2,..,λn)*P,
其中diag(λ1,λ2,..,λn)为对角矩阵,
且λ1,λ2,..,λn为A特征值.
可设λ1≥λ2≥...≥λn.

2.
||x||^2=(x1)^2+(x2)^2+……+(xn)^2=1
<==>
||Px||^2=1.
当||x||^2=1,设y=Px
==>
f(x)=λ1(y1)^2+λ2(y2)^2+……+λn(yn)^2≤
≤λ1[(y1)^2+(y2)^2+……+(yn)^2]=λ1
设e1=(1,0,..,0)^t,取x=Pe1,
==>
||x||^2=1
==>
f(x)=λ1(1)^2+λ2(0)^2+……+λn(0)^2=λ1
==>
f在满足条件||x||^2=11时的最大值=λ1=矩阵A的最大特征值.