选A
∵ 斜率=1,倾斜角=45°∴ 设直线L的t参数方程为x=-1+tcos45°=-1+t/√2,y=tsin45°=t/√2,把它代入渐进线:y=-bx和y=bx，得点B的t1=√2b/(b+1),点C的t2=√2b/(b-1),
由t的几何意义知 |AB|=t1, |AC|=t2, ∴ |BC|=|AC|-|AB|=t2-t1,于是
t2=2t1,即√2b/(b-1)=2=√2b/(b+1), ∴ b=3, c²=a²+b²=1+9,c=√10, e=c/a=√10
说明:直线L的方程不选用y=x+1是因要用到距离公式,运算量太大,凡是涉及过定点的直线(此处为L)与圆锥曲线(此处为双曲线的渐近线)的交点弦(此处为|AB|和|AC|)问题,都可选用直线的t参数方程,以减少运算量.
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