设E为正方形ABCD一边AB的中点，在边BC和CD上分别取两点F和G，使AG∥EF。
求证: 直线FG与正方形ABCD内切圆相切。

证明 设正方形ABCD的内切圆切BC于点H, 切CD于点K，令AB=2a，HF=x。
延长DC交EF于点L，则CF=a-x，BF=a+x，CL=a(a-x)/(a+x) ，GL=a。故
GC=a-CL=2ax/(a+x) ，GK=a-GC= a(a-x)/(a+x)。[CL=GK]
点O到FG的距离h=2S(OFG)/FG。
注意到 S(OFG)=S(OHCK)-S(CFG)-S(OHF)-S(OKG) ，
由直角三角形面积得:
2S(OFG)=2a^2-2(a-x)*ax/(a+x)-ax-a^2*(a-x)/(a+x)
=a*(a^2+x^2)/(a+x).
由勾股定理得:
FG^2=(a-x)^2+(2ax)^2/(a+x)^2=(a^2+x^2)^2/(a+x)^2，
FG=(a^2+x^2)/(a+x).
所以h=2S(OFG)/FG=a。
故直线FG与正方形ABCD内切圆相切。证毕。