问题: 高中三角函数
在三角形ABC中，已知tan(A+B)=1,且最长边为1，tanA>tanB,tanB=1/3，求角C的大小及三角形ABC最短边的长。
解答:
在三角形ABC中，已知tan(A+B)=1,且最长边为1，tanA>tanB,tanB=1/3，求角C的大小及三角形ABC最短边的长。
解:A+B+C=180°,→tanC=tan[180°-(A+B)]=-tan(A+B)=-1
∴C=135°
tan(A+B)=1→(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=1,→
tanA+tanB=1-tanAtanB,又tanB=1/3
tanA+(1/3)=1-(1/3)tanA
(4/3)tanA=2/3,tanA=1/2,
最短边b,tanB=1/3→cotB=3,→cosB/sinB=3,→
cos^B/sin^B=9,→(1-sin^B)/sin^B=9,→
(1/sin^B)-1=9,→(1/sin^B)=10,→sin^B=1/10,,0°<B<45°→
sinB=1/√10,→
最长边为c=1,由正弦定理:
b/sinB=c/sinC→b*√10=1/sin135°→
b*√10=1/√2→b=1/√20=1/(2√5)=√5/10
即三角形ABC最短边的长√5/10
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