问题: 高中数学题求助,快~
已知向量a=(2cos(x/2),tan(x/2+π/4)),向量b=(√2*sin(x/2+π/4),tan(x/2-π/4)),令f(x)=向量a*向量b,是否存在实数x∈[0,π],使f(x)+f'(x)=0?若存在,则求出x的值;若不存在,则证明之.
解答:
向量a=(2cos(x/2),tan(x/2+pi/4),
向量b=(√2sin(x+pi/4),tan(x/2-pi/4)
f(x)=a·b=(2√2cos(x/2)sin(x/2+pi/4)+tan(x/2+pi/4)tan(x/2-pi/4)
=2√2sin(x/2+pi/4)cos(x/2)+[1+tan(x/2)]/[1-tan(x/2)]*[1-tan(x/2)]/[1+tan(x/2)]
=2√2[√2/2*sin(x/2)+√2/2*cos(x/2)]cos(x/2)+1
=2sin(x/2)cos(x/2)+2[cos(x/2)]^2+1
=sinx+cosx+2
f'(x)=cosx-sinx
因此f(x)+f'(x)=2cosx+2
f(x)+f'(x)=0---->cosx=-1,0=<x=<pi--->x=pi.
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