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问题: 数学

(1)设a》0,b》0,a^2+b^2/2=1,则a*√b^2+1最大值?
(2)要使不等式√x+√y《k√x+y对所有正数x,y都成立,则k的最小值是?

解答:

(1)设a>0,b>0,a²+b²/2=1,则a√(b²+1)最大值?

a²+b²/2=1--->b²=2-2a²(0<a²≤1)
令:M = a√(b²+1)>0
--->M²= a²(b²+1) = a²(3-2a²)
   = -2(a²)²+3a² = -2(a²-3/4)²+9/8 ≤ 9/8
--->a²=3/4即a=√3/2,b=√2/2时,a√(b²+1)最大值=3√2/4

(2)要使不等式√x+√y<k√(x+y)对所有正数x,y都成立,则k的最小值是?

k = (√x+√y)/√(x+y)
--->k² = (x+y+2√xy)/(x+y) = 1+2√(xy)/(x+y) < 1+1 = 2
--->x=y时,k的最小值=√2