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问题: 数学

已知a>b>0求证:(a-b)²/8a<(a+b)/2-√ab<(a-b)²/8b

解答:

用分析法

要证:(a-b)²/8a<(a+b)/2-√ab<(a-b)²/8b
只要证:(a-b)²/8a<(√a-√b)^2/2<(a-b)²/8b
只要证:(√a+√b)^2/4a<1<(√a+√b)^2/4b
即4b<(√a+√b)^2<4a (*)
因为a>b>0,所以(√a+√b)^2>(√b+√b)^2=4b
(√a+√b)^2<(√a+√a)^2=4a
所以(*)式成立
所以原不等式成立.