三角形ABC的三个内角A,B,C成等差数列求证：1/（a+b)+1/(b+c)=1/3(a+b+c)

你给的结论有问题，看是否为：
1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)

证明：
已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列，则：
A-B=B-C ===> A+C=2B
而，A+B+C=180°，所以：
3B=180°===> B=60°
根据余弦定理有：
b^=a^+c^-2accos60°=a^+c^-2ac*(1/2)=a^+c^-ac…………(1)
(1)式===> a^-b^=ac-c^
===> (a+b)(a-b)=c(a-c)
===> (a+b)=[c(a-c)]/(a-b)
===> 1/(a+b)=(a-b)/[c(a-c)]………………………………（2）
(1)式===> b^-c^=a^-ac
===> (b+c)(b-c)=a(a-c)
===> (b+c)=[a(a-c)]/(b-c)
===> 1/(b+c)=(b-c)/[a(a-c)]………………………………（3）
(1)式===> a^+c^-b^=ac……………………………………（4）
将(2)(3)式代入到所证等式，有：
1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)
<===> (a-b)/[c(a-c)]+(b-c)/[a(a-c)]=3/(a+b+c)
<===> (a^-ab+bc-c^)/[ac(a-c)]=3/(a+b+c)（左边通分）
<===> [(a+c)(a-c)-b(a-c)]/[ac(a-c)]=3/(a+b+c)
<===> [(a-c)(a+c-b)]/[ac(a-c)]=3/(a+b+c)
<===> (a+c-b)/ac=3/(a+b+c)
<===> [(a+c-b)(a+c+b)]=3ac
<===> (a+c)^-b^=3ac
<===> a^+c^-b^+2ac=3ac
<===> a^+c^-b^=ac
这就是上述的等式(4)。
故，原命题成立。

其实要验证你所给的结论是否正确，可以假设△ABC的内角分别为：30°、60°、90°，这是一个特殊的直角三角形。它满足三个内角成等差数列。因此，设a=1,则：b=√3,c=2
代入到等式中可以发现，你所给的结论是错误的！
正确的结论应该是：1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)