问题: 几何问题
若引自三角形一顶点的高，角平分线，中线四等分这顶角，则此三角形为直角三角形。
解答:
若引自三角形一顶点的高，角平分线，中线四等分这顶角，则此三角形为直角三角形。
上述命题可改述为:
己知ΔABC的高AH，∠A的分角线AD，BC上的中线AM，且∠BAH=∠HAD=∠DAM=∠MAC。求证∠BAC=90°.
证明 延长AD交ΔABC的外接圆于N, 连NM。
∵∠BAD=∠CAD,∴N为圆弧BC的中点。
∵M为BC的中点，∴MN⊥BC.
∵AH⊥BC, ∴AH∥MN, ∴∠ANM=∠HAD=∠NAM, ∴MA=MN.
∵MN与MA不重合，而MN所在的直线必过ΔABC外接圆圆心.
故M必为外接圆圆心， ∴BC为直径，∴∠BAC=90°. 证毕。
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