问题 试证:到三角形三顶点的距离平方和为最小的点即是重心。

试证:到三角形三顶点的距离平方和为最小的点即是重心。
上述重心性质可改述为:
命题 在ΔABC中，G是重心,M是平面上任一点。求证;
MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2
证明（1） ΔABC的三条中线AD,BE,CF交于G，不妨设M在ΔBGC内。
对于ΔAMD和G，由斯特瓦尔定理得;
MA^2*DG+MD^2*AG-MG^@*AD=AD*DG*AG
因为 DG=AD/3,GA=2AD/3，代入整理得:
3*MG^2=MA^2+2*MD^2-2*AD^2/3 (1)
容易算出，在ΔMBC和ΔGBC中有
MD^2=(MB^2+MC^2)/2-BC^2/4
GD^2=(GB^2+GC^2)/2-BC^2/4
将上述两式代入(1) 式得:
3*MG^2=MA^2+MB^2+MC^2-(GB^2+GC^2)+2GD^2-2*AD^2/3
= MA^2+MB^2+MC^2-( GA^2+GB^2+GC^2)
所以 MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2
从等式显然可看出, 当M异于G时，有
MA^2+MB^2+MC^2>GA^2+GB^2+GC^2
所以到三角形三顶点距离的平方和为最小的点是三角形的重心。


证明（2） 根据三角形惯性极矩不等式:[x,y,z为实数]
(x+y+z)*(x*PA^2+y*PB^2+z*PC^2)≥a^2*yz+b^2*zx+c^2*xy (1)
取x=y=z=1时，即得:
PA^2+PB^2+PC^2≥(a^2+b^2+c^2)/3 (2)
(2)式取等条件是x=y=z，即重心坐标为(1,1,1)。
而 GA=2ma/3,GB=2mb/3,GC=2mc/3。
GA^2+GB^2+GC^2=4*[(ma)^2+(mb)^2+(mc)^2]/9=(a^2+b^2+c^2)/3
所以有 PA^2+PB^2+PC^2≥GA^2+GB^2+GC^2