M={Z|Z=4X+12Y}
N={Z|Z=16X-20Y}
X,Y都是整数
问M和N的关系

请把这2个集合放到空间直角坐标系中，看出，其实M,N是2个平面！！当然，是平面中的整数点组成的集合。
非平行平面必有交线，连列这2个平面的式子，得出交线方程：12X=32Y即Y=3/8X，要X,Y同时为整数，X必为8的倍数且满足Y=3/8X。
即M交N=直线Y=3/8X上X，Y都取整数的点。

恩，最近比较忙，现在看来确实是我错了，如果是平面上的点的话，应该这样表示M={X,Y,Z|......},而原题只有Z，如你所说，确实是X,Y的整数点所对应的Z坐标。但是这样看来把他变成平面就没有任何意义了。
你老师的方法是利用一个变换，把它凑出来的，虽然说我看这方法也有点问题。
我上数学二专的时候我老师给我介绍过，y=x,y=3x这两个集合的关系，第一次想都不用想的，当然是第一个集合包含第二个，第一个集合有1，2，4，5.。。。等等元素第二个集合没有，但是，第一个集合有1，第二个集合有3与他对应，第一个集合有2，第二个集合有6和他对应.....不知道你是不是理解我的意思，当一个集合的元素变为无限多的时候，他们之间的关系就变的不是这么简单了，我老师和我说这2个集合的元素其实是一样多的，但是这2个集合的关系。。。我忘记了。。。
但是你老师说，一个是整数，一个是偶数，这就包含了，恐怕不是这样吧，整数集与偶数集拥有的元素个数，不能简单的说整数集有偶数集没有的奇数，整数集每有一个元素，偶数集都有一个元素与他对应！！
不过讨论到这里，恐怕要追溯到集合的定义了，又涉及到即使是高等数学都无法解决的许多问题，有兴趣你可以去查阅相关的资料。
但是无论怎么说我第一个方法绝对是错的。
数学学习关键是兴趣，像你这样对数学的每个问题都能这样打破砂锅问到底的精神，我十分感动啊，祝你数学学习进步。最后说一下，高考是应试教育，对问题执着是很好的，但是不要太执着影响到其他知识的学习。