1.已知正方形ABCD内接于圆O，P在弧AB上，求证PD^2+PB^2=2PA*PC

2.在三角形ABC中，有一边长为另一边上的2倍，且有一个角为30度，那么此三角形能不能是锐角三角形，说明理由

3.D是直角三角形ABC斜边上一点，AB=AD。设角CAD=α，角ABC=β。
(1)证明：sinα+cos2β=0
(2)若AC=√3DC,求β的值

1,
建立直角坐标系
A（-1，1） B（1，1） C（1，-1）D（-1 ，-1）
则圆O
x²+y² =2
设P （x, y) , x∈[-1,1] ;y∈[1,√2]

PD²-PB² =(x+1)²+(y+1)² -(x-1)² -(y-1)² =4x+4y ......(1)

2PA*PC =2√[(x+1)²+(y-1)²][(x-1)²+(y+1)²]
=2√(x²+y²+2x-2y+2)(x²+y²-2x+2y+2) ......(2)
x²+y² =2
==>(2) =2√[4 +2(x-y)][4 -2(x-y)]
=2√(16 -4(x-y)²)
=2√(16-4(x²+y²)+8xy]
=2√(8+8xy]
=4√(2+2xy)
=4√(x²+y²+2xy)
=4√(x+y)²
=4x+4y ......(3)

(1)=(3) ==>PD²-PB² =2PA*PC



2)
根据正弦定理
如果30度角A对的边为另一角B对的边一半
则 2 =sinB/sin30 ==>B =90度 ，不是锐角三角形

如果30度角A对的边为另一角B对的边一倍
则2 =sin30/sinB ===>sinB =1/4 ==>B<30
===>另一个内角180 -A -B>120度不是锐角三角形

如果另外两个角对的边有倍数关系
===>
sinB/sin(150-B) =1/2
2sinB =sin(150-B) =(1/2)cosB +(√3/2)sinB
==>[4 -(√3)]sinB =cosB
===>tanB =1/[4 -(√3)] =[4 +(√3)]/13 <(√3)/3
===>B<30度
===>另一个内角180 -A -B>120度不是锐角三角形

所以，不能是锐角三角形