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问题: 求教P152-2

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1、F2
P是准 线上一点且PF1垂直于PF2
|PF1|*|PF2|=4ab
则双曲线的离心率 是?

解答:

解法1:设A(xo,yo)B(xo,-yo)△F2AB是等边三角形OA=R=C F2A=F2B=√3R=√3C
xo^2/a^2-yo^2/b^2=1 (1)
xo^2+yo^2=C^2 (2)
(xo+C)^2+yo^2=C^2 (3)
△ABF2是等边三角形,则A(-1/2C,√3/2C)
代入(1)
(-1/2C)^2/a^2-(√3/2C)^2=1
整理
C^2/4a^2-3C^2/4b^2=1 (C^2-a^2=b^2)
1/4e^2-3/4{1-1/e^2}=1
e^2-1-3=4-4/e^2
e^2+4/e^2=8

e^2+4/e^2+4=8+4
(e+2/e)=2√3 (e+1/e)=-2√3<0(舍弃)
e^2-2√3e+2=0
解得e=1+√3
解法2:
AF2==√3C

AM==√3C /2

AF1*AF2=2C*√3C /2

AF1=C

则√3C-C=2a


e=c/a=2/(√3-1 )==√3+1