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问题: 数学

已知关于x的实系数二次方程x²+ax+b=0有两个实数根α,β
(1)求证:如果︱α︱<2,︱β︱<2那么2︱a︱<4+b且︱b︱<4
(2)如果2︱a︱<4+b且︱b︱<4,那么︱α︱<2,︱β︱<2

解答:

已知关于x的实系数二次方程x²+ax+b=0有两个实数根α,β. 求证:
(1)如果|α|<2,|β|<2,那么2|a|<4+b且|b|<4
(2)如果2|a|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β|<2

f(x) = x²+ax+b = 0有两个实数根α,β

(1)|α|<2,|β|<2
--->|b|=|αβ|=|α||β|<2*2=4
同时:f(2)=4+2a+b>0,f(-2)=4-2a+b>0--->2|a|=±2a<4+b

(2)2|a|=±2a<4+b--->f(2)>0,f(-2)>0
|b|=|αβ|<4--->两根不可能同时大于2或同时小于2
--->两根都在(-2,2)内,即:|α|<2,|β|<2