设△ABC满足：︱cosA*cosB*cosC︱=1/8，试判定△ABC的形状。

设△ABC满足：︱cosA*cosB*cosC︱=1/8，试判定△ABC的形状并求三内角。
解 首先当△ABC锐角三角形时，则
cosA*cosB*cosC=1/8。 (1)
由余弦定理得:
(b^2+c^2-a^2)*(c^2+a^2-b^2)*(a^2+b^2-c^2)=(abc)^2 (2)
<==> (b^2+c^2-a^2)*(b^2-c^2)^2+(c^2+a^2-b^2)*(c^2-a^2)^2+(a^2+b^2-c^2)*(a^2-b)^2=0
所以当△ABC锐角三角形时可得:a=b=c，即△ABC为正三角形。A=B=C=60°。
显然直角三角形是不可能。
其次考虑△ABC为钝角三角形时，不妨设C为钝角，则
cosA*cosB*cosC=-1/8。 (3)
假设B=2A，由正弦定理得:a/sinA=b/sin2A <==> cosA=b/(2a);
假设C=2B，由正弦定理得:b/sinB=c/sin2B <==> cosB=c/(2b);
那么cosC是否等于-a/(2c) .
对于三角形三内角之比为:1:2:4，总存在
1/b+1/c=1/a，即bc=ab+ca; (4)
b^2=a^2+ab; (5)
c^2=b^2+ab. (6)
而 cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(a-b)/(2b)=(ac-bc)/(2bc)=-ab/(2bc)=-a/(2c)
所以当A:B:C=1:2:4，即A=π/7，B=2π/7，C=4π/7，(3)式成立。
因此本题答案为A:B:C=1:1:1或A:B:C=1:2:4。