对于满足:∠A=2∠B，∠C是钝角，三边长a,b,c都是整数的三角形，求周长的最小值，并给出证明。

对于满足:∠A=2∠B，∠C是钝角，三边长a,b,c都是整数的三角形，求周长的最小值，并给出证明。
解 由∠A=2∠B可得:
a^2=b(b+c) (1)
根据正弦定理得: a/sinA=b/sinB=a/sin2B
故得：cosB=a/2b<1，
即 a<2b (2)
因为∠C是钝角，由余弦定理得: a^2+b^2<c^2
<==> a^2<c^2-b^2=(c-b)*(c+b)=a^2*(c-b)/b，
即得: 2b<c，所以 a^2=b(b+c)>b(b+2b)=3b^2
得:a>√3*b (3)
故有 2b>a>√3*b。
设b=m^2，b+c=n^2，m,n∈N，所以a=m*n，即 2m^2>mn>√3*m^2，
即 2m>n>√3*m，所以2m，√3*m之间有自然数n。
从而 2m-√3*m>1，
即m>1/(2-√3)>2+√3> 3，故m>=4。
当n=4时，b=16，8>n>4√3，所以n=7，a=28，c=33。
a+b+c=16+28+33=77
因此满足上述的条件的三角形的周长的最小值为77。