设P是边长为1的正△ABC内部任一点，PA=x,PB=y,PC=z。求证:yz+zx+xy>=1

设P是边长为1的正△ABC内部任一点，PA=x,PB=y,PC=z。
求证:yz+zx+xy>=1.
证明 过正△ABC内部一点P，作PK⊥BC，PM⊥CA，PN⊥AB,分别交BC，CA，AB于K，M，N。令PK=k，PM=m，PN=n。
那么P是△KMN的正等角中心{费马点}
因为MN=√3*x/2，NK=√3*y/2，KM=√3*z/2。
而k+m+n=√3*BC/2=(√3)/2.
根椐已知不等式:
NK*KM+KM*MN+MN*NK>=(PK+PM+PN)^2
<==> 3(yz+zx+xy)/4>=[(√3)/2]^2
<==> yz+zx+xy>=1.

如果不熟悉上述不等式，可用下面方法证:
MN=√(m^2+n^2+mn)，
NK=√(n^2+k^2+nk)，
KM=√(k^2+m^2+km)，
故所不等式等价于
√[(n^2+k^2+nk)*(k^2+m^2+km)]+√[(k^2+m^2+km)*(m^2+n^2+mn)]+
√[(m^2+n^2+mn)*(n^2+k^2+nk)]>=(k+m+n)^2 (1)
易证下列三个局部不等式
2√[(n^2+k^2+nk)*(k^2+m^2+km)]>=2k^2+2mn+nk+km; (2-1)
2√[(k^2+m^2+km)*(m^2+n^2+mn)]>=2m^2+2nk+km+mn; (2-2)
2√[(m^2+n^2+mn)*(n^2+k^2+nk)]>=2n^2+2km+mn+nk. (2-3)
因为 4(n^2+k^2+nk)*(k^2+m^2+km)-(2k^2+2mn+nk+km)^2
=3k^2*m^2+3k^2*n^2-6k*2*mn=3k^2*(m-n)^2>=0，
显然(2-1)式成立。同理可证另外两式。
将(2-1),(2-2),(2-3)代入即可证明(1)式。