问题: 矩阵理论问题
证明：r(AA*)=r(A)
其中A*为矩阵A的共轭转置矩阵
那位高手帮帮忙啊，从来美接触过类似共轭矩阵秩的证明，感觉很困难
解答:
记C(A)为A的共轭矩阵,A*=C(A)^t.
1.
显然有:
r(A)=r(C(A))=r(C(A)^t)=r(A*).
记KerA={X,AX=0},显然有KerA为线性子空间.
若A为m×n矩阵,则有维数定理:
n=r(A)+DimKerA
下面使用维数定理证明命题.
2.
A为m×n矩阵,
==>,A为n×m矩阵,AA*为m×m矩阵
ⅰ.
X∈KerA
==>AA*X=0
==>X∈KerAA*
==>KerA为KerAA*的子空间.
ⅱ.
X∈KerAA*
==>
AA*X=0
==>
0=X*AA*X=||A*X||^2
==>
A*X=0
==>X∈KerA*
==>KerAA*为KerA的子空间.
==>
KerAA*=KerA*,DimKerAA*=DimKerA*
ⅲ.
r(AA*)=m-DimKerAA*=m-DimKerA*=r(A*)=r(A).
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