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汽车保险问题研究
摘 要：针对实行安全法规，交通事故减少以后，汽车保险公司所定的保险费的变化情况的问题，本文从总投保人数人均所担负的事故赔偿费的角度来讨论保险费用的变化情况。若人均所担负的赔偿费减少，则意味着人均所担负的风险变小，那么相应的投保人所交的保险费也应减少。本文就是根据这样的原则通过对人均所担负的赔偿费的变化的讨论来回答题目的保险费变化的问题。在建模过程中查阅了一些书籍，并根据实际情况作了适当假设，建立了一般模型，代入题中所给数据得到了法规颁布后的保险费会减少的结果。
关键词：人均事故赔偿费 净保费 基本保险费 泊松分布
1 问题重述
已知某汽车保险公司的保险规则，即：该公司只提供一年期的综合保险单，若客户在这一年内没有提出赔偿要求，则给予额外补助；客户被分成0，1，2，3类，新客户属于0类；级别越高，从保险费中得到的回扣越多；当客户续保时，若上一年中没有要求赔偿，则提高一个类别；若上一年中要求过赔偿，则降低两个类别或0类；客户不论是由于自动终止保险还是则某种原因（例如事故死亡），保险公司将退还保险金的适当部分。现在政府为了减少交通事故，参考其他城市的做法，制定了一系列安全法规。根据其他城市的经验，实行安全法规以后，死亡的司机减少40％，一般来讲医疗费也会减少20％至40％。问题是想知道这样以后保险公司所制定的保险费是应该增加还是应该减少，提出一般的解答方法并运用已知的该公司在某一年的保险数据来验证所提出的方法的正确性。
2 问题分析
题目所要求的问题是实行安全法规前后该汽车保险公司所制定的保险费的变化情况。社会保险的作用就在于分担风险，汽车保险费由净保费和附加保费两部份构成，附加保费用于支付保险公司的营业费用，这部份费用可假定是不变的。因而问题的关键就在于净保费的变化。净保费又叫做风险保费，在数量上等于保险期间赔款的期望值。因而通过对下一年的赔款期望值的估算来确定下一年的净保费的金额。而赔款期望值即人均事故赔偿费的估算涉及到总投保人数的估算和事故赔偿费总额的估算。虽然投保人数的变化与保险费的多少有关，但通过合理的假设（每辆车都必须投保）以及在颁布法规的情况下各个保险公司的保险费都会发生相似的变化（就可以忽略各保险公司的竞争）可以得到投保人数的变化不依赖于保险费的变化。所以本题所要解决的主要问题就是下一年的事故赔偿费总额的估算和总投保人数的估算。最后通过得到的各类的净保费以及已知的该类的保险费折扣率来计算得到基本保险费。模型建立部分分为两个过程，首先解决没有颁布法规的情况，再在此基础上解决法规颁布了的情况。
3 合理假设
a) 该汽车保险公司只提供一年期的综合保险单。
b) 若客户在这一年内没有提出赔偿要求，则给予额外补助。
c) 客户被分成0，1，2，3类，新客户属于0类。
d) 当客户续保时，若上一年没有要求赔偿，则提高一个类别，若上一年中要求过赔偿，则降低两个类别或0类。
e) 客户注销时保险公司将退还保险金的适当部分。
f) 每辆汽车必须投保。
g) 投保人除注销外不会退出该保险公司而到其他保险公司投保。
h) 每一类别中总投保人数等于续保人数与新投保人数之和。
i) 注销人数等于自动终止保险人数与死亡人数之和。
j) 每一类别的没有索赔补比例（所交保险费的折扣率）不变。
k) 自动终止保险人数与总投保人数比例不变。
l) 死亡司机人数与索赔人数比例不变。
m) 新车使用三年后报销，即三年后的自动退保人数等于三年前的新投保人数。且每年的新投保人数按等比例增长。
n) 下一年的平均死亡赔偿费不变。
o) 下一年的平均修理费不变。
p) 下一年的平均医疗费不变。
q) 下一年的平均偿还退回的保险金额不变。
r) 颁布了法规的情况下，每个类别的死亡司机比没有颁布法规时都减少40％。
s) 注销人平均所得到的偿还退回金金额不变。
4 符号说明
n 1984---1985年度的人数
m 没有颁布法规的情况下，下一年度的人数。
mm 颁布了法规的情况下，下一年度的人数。
W 1984---1985年度的费用
S 没有颁布法规的情况下，下一年度的费用。
SS 颁布了法规的情况下，下一年度的费用。
i 取0，1，2，3，代表0，1，2，3类。
k 比例系数
i类的没有索赔补比例（即所交基本保险费的折扣率）。
ω 新投保人数的增长比例。
各类投保人所承担的平均事故赔偿费。
Y 没有颁布法规的情况下，下一年的基本保险费。
其中，中文下标“总”表示总投保人数或总索赔费用，“续”表示续保人数，“新”表示新投保人数，“注”表示注销人数，“索”表示索赔人数，“死”表示死亡人数或死亡赔偿费，“修””表示修理费，“医”表示医疗费，“退索”表示自动退保人中索赔过的人数。
5 模型建立
5.1 未颁布法规的情况下下一年的基本保险费估算
根据假设6有以下四个式子：
下一年3类总投保人数=3类续保人数—3类注销人数—3类降为1类的人数（索赔人数）+3类注销人中索赔过的人数（包括3类死亡人数和3类自动退保人中索赔过的人数）（因为索赔人数和注销人数中都包括这部份人）+2类升为3 类的人数。而
2类升为3类的人数=2类续保人数—2类注销人数—2类索赔人数+2类死亡人数，即：
（1）
下一年2类总投保人数=1类升为2类的人数=1类续保人数—1类注销人数—1类降为0类的人数（即索赔人数）+1类死亡人数+1类自动退保人中索赔过的人数，即：
（2）
下一年1类总投保人数=0类升为1类的人数=0类总投保人数—0类注销人数—0类索赔人数+0类死亡人数+0类自动退保人中索赔过的人数+3类降为1类的人数（3类索赔人数—3类死亡人数―3类自动退保人中索赔过的人数），即：
（3）
下一年0类总投保人数=0类索赔人数—0类死亡人数―0类自动退保人中索赔过的人数+1类降为0类的人数（1类索赔人数—1类死亡人数―1类自动退保人中索赔过的人数）+2类降为1类的人数（2类索赔人数—2类死亡人数―2类自动退保人中索赔过的人数）+下一年的新投保人数，即：
（4）
由假设11可得：下一年的自动退保人数与总投保人数成比例；再由假设9可得：注销人数等于自动退保人数与死亡人数之和。即：
（5）
由假设12可得：下一年的死亡人数与索赔人数成比例，即：
（6）
对于i类总投保人数中的每一个人，因为它服从泊松分布，所以它索赔k次的概率p为：
（7）
所以，它至少索赔一次的概率 为：
（8）
所以在 个人中有x个人向保险公司索赔的概率为：
（9）
索赔人数用它的期望来表示即为：
（10）
所以：
（11）
由上所述可得到索赔人数与总投保人数的关系为：
（12）
由假设13可得：下一年的新投保人数等于这一年的新投保人数与等比例之积，即：
（13）
由假设14，15，16可得以下式子：
； ； （14）
所以，总的死亡赔偿费可表示为：
（15）
总的修理费用可表示为：
（16）
总的医疗费可表示为：
（17）
总赔偿费=总死亡赔偿费+总修理费+总医疗费，即：
（18）
由假设17可得：
（19）
所以总的偿还退回金额等于人均退回金额与注销人数之积，即：
（20）
根据以上所有式子，有各类投保人人均所承担的事故赔偿费=（该类总赔偿费+该类总偿还退回金额）∕该类总投保人数，可表示为：
（21）
下一年的基本保险费为Y可用各类人均事故赔偿费（即各类的净保费）和各类的保险费折扣率表示为：0类净保费 0类总投保人数 +1类净保费 1类总投保人数+2类净保费 2类总投保人数+3类净保费 3类总投保人数=基本保险费 0类保费折扣率 0类总投保人数+基本保险费 1类保费折扣率 1类总投保人数+基本保险费 2类保费折扣率 2类总投保人数+基本保险费 3类保费折扣率 3类总投保人数，即：
（22）
所以，Y为：
（23）
5.2 颁布了法规的情况下下一年的基本保险费的估算
根据假设，法规颁布了的情况下和没有颁布法规的情况下有下列这些因素不变：
新投保人数，各类别总的投保人数，平均修理费，平均医疗费，平均死亡赔偿费。所以有：
， ， ， ，
法规颁布了的情况下变动的因素有：死亡人数，索赔人数，注销人数。它们的变动如下列三个式子所示，其余步骤与（一）中所列相同，在此不再重述。
由假设18：颁布了法规的情况下，每个类别的死亡司机比没有颁布法规时都减少40％。可得：
（24）
由假设12：死亡人数与索赔人数比例不变，可得：
（25）
因为注销人数等于自动退出人数和死亡人数之和，在死亡人数变动的情况下，注销人数可表示为：
（26）
6 模型求解及结果分析
题目中所给的表1、表2的数据摘要如下：
表1 1984―1985年度发放的保险单数
基本保险费为：$775
类别 没有索赔补比例 （％） 续保人数 新投保人数 注销人数 总投保人数
0 0 1280708 384620 18264 1665328
1 25 1764897 1 28240 1764898
2 40 1154461 0 13875 1154461
3 50 8760058 0 324114 8760058
总收入（M$）：6182 ，偿还退回（M$）：70 ，净收入（M$）：6112，支出（M$）：149，索赔支出（M$）：6093，总支出（M$）：6242 ，超支（M$）：130。
表2 1984―1985年度索赔款
类别 索赔人数 死亡司机人数 平均修理费$ 平均医疗费$ 平均赔偿费$
0 582756 11652 1020 1526 3195
1 582463 23315 1223 1231 3886
2 115857 2292 947 823 2941
3 700872 7013 805 814 2321
总修理费（M$）：1981，总医疗费（M$）：2218，总死亡赔偿费（M$）：1894
总索赔费（M$）：6093
将上表中的数据代入模型求解。首先，求解ω。根据假设13可得：1980年新投保人数等于1984年的自动退保人数，为：索赔人数―死亡人数=340221。81年到84年的新投保人数按等比例增长，有：340221 ω4=384620。所以等比例ω=103.1％。其次，求解自动退保中的索赔人数，解法如下所示：
设第I类中某人在该年的第K天自动退出 ，则该人在前K天中索赔过的概率为：
(K) = K i÷365
因K是随机变量，且 1 K 365 ，设 (K=k)= ,易知 =1/365 。从而，第K类中自动退出的某一个人索赔过的概率在这一年中的期望为：
i= (k) )= i÷365) = i/2
与前面计算索赔人数的期望同样的方法可求得该年中在第i类的自动退出的人群中向保险公司索赔过的人数期望值是：
n退赔 = （n索i – n死i ） (1 - e- )/2
再根据模型步骤逐步求解得到没有颁布法规的情况的结果列表见表3及表后说明。
表3
类别 没有索赔补比例（％） 续保人数 新投保人数 总投保人数 索赔人数 死亡人数 平均赔偿费$
0 0 1241266 396543 1627809 573124 11460 3195
1 25 1758291 0 1758291 580274 23227 3886
2 40 1178323 0 1178323 118252 2339 2941
3 50 8782372 0 8782372 702658 7031 2321
1985―1986年的总的自动退保人数：350768 总死亡人数：44057 总注销人数：394825
偿还退回金总额=人均偿还退回金金额 总注销人数，为：71.88M$。
总索赔费= ，为：6064.72M$。
最后得到在没有颁布法规的情况下的基本保险费为：762$。
颁布了法规的情况与没有颁布法规的情况类似，计算得出的结果列表见表4及表后说明。
表4
类别 没有索赔补比例（％） 续保人数 新投保人数 总投保人数 索赔人数 死亡人数 平均赔偿费$
0 0 1241266 396543 1627809 343874 6876 3195
1 25 1758291 0 1758291 348164 13936 3886
2 40 1178323 0 1178323 70951 1403 2941
3 50 8782372 0 8782372 421595 4219 2321
总死亡人数：26434，总注销人数：377202，偿还退回总金额：68.67 M$，总索赔支出：6064.7 M$。
最后得到法规颁布了的情况下的基本保险费为：461$。
依据题中所给的84―85年的保险数据估算出下一年中没有颁布法规和颁布了法规这两种情况下的基本保险费，分别为：762$，461$。因此，回答题中问题，在颁布了法规的情况下保险公司所制定的基本保险费是减少的。
7 误差分析
本题的结果与现实间的主要误差主要来自于假设 7、11、12、13。在现实生活中，在保险公司间由于报单价格及声誉的影响，中途从一家保险公司改投另一家保险公司的投保人数也有一定数目；自动退保的人数变化是由死亡人数变化和汽车报废到期人数及其他以外因素共同决定，在我们的模型中将它假设成与总投保人成比例变化而产生了误差；车祸中死亡人数的变化是服从一定分布的，我们为了简化模型把它假设成于与发生车祸的人数成比例变化而产生了一定误差，但由于在两年中死亡的比例变化不是很大，所以假设12带来的误差不是很大；另外每年来保险公司投保的人数受报单价格和保险公司声誉影响，不一定是按我们假设的成固定增长率增长。
8 模型评价
本文所做的模型是在对许多现实做了近似假设的前提下建立起来的，有较大的误差在所难免。模型中没有讨论现金的现值变化，所求得的一些重要的、所设概率分布的参数只由一年的数据算得，无法十分精确的与现实生活拟合。但我们的模型给出了一个在简化条件下的求解保险费的较完整的解决方案。我们对于单个人索赔次数服从泊松分布的假设源于前人的大量统计得出，能够较好地模拟现实。但遗憾的是我们虽然知道一年中汽车修理费服从伽马分布，但由于题目只给出了一年数据而无法确定其参数。另外，由于保险公司的保单总数每年的变化不是很大，所以到最后它的各层的人数是一个定值，由于时间有限，我们不能对它的数量做出估计。
参考书目
（1）李秀芳，曾庆五，《保险精算》，中国金融出版社，1999年8月
（2）庄俊鸿，《保险学》，华南理工大学出版社，1994年8月
（3）陶存文，《新编保险会计》，立信会计出版社，2000年1月
（4）汉斯，U·盖伯，《人寿保险数学》，世界图书出版社，1996年5月

第二篇:中国汽车保险与美国汽车保险相同与不同

　　[摘要]汽车保险是我国财产保险中份额最重的一项，随着中国汽车工业的迅猛发展，我国的汽车保险业也将迎来一个黄金期。但是与汽车王国美国相比较，我国汽车保险费率的厘定，更多地关注汽车本身，而忽略投保人这一主体因素。更多地关注入的因素，是加入WTO后的我国汽车保险人值得重视的一个话题。

　　在美国影响汽车保费的因素首先是汽车本身。高档汽车自身价值大，保险费当然也高，尤其是名牌古董车因为本身价值高，其保险费更高；而低档旧车的保险费较低，因为其本身价值就低。就这一点而言美国与我们国家没有大的差别。



　　与我国不一样的是，美国的保险公司向汽车用户提供服务和收费时，在保险标的的汽车相同的条件下，保险公司确定保险费率的依据更多考虑的是人的因素，而不是车的因素。换句话说，同一辆汽车，由于投保人或被保险人的不同，保险费率可以相差3倍，即同一辆汽车不同的人投保保险费能相差3倍。而在中国保险公司对汽车收取保费的依据主要是汽车自身的价值，关于汽车是何人使用如何使用并不是保险公司厘定保险费率的依据。中国三大保险公司(中国人民保险公司、中国平安保险公司、中国太平洋保险公司)的机动车辆保险条款内容基本一致，一般分为基本险和附加险两部分。基本险有车辆损失险和第三者责任险两种；附加险主要有全车盗抢险、玻璃单独破损险、车辆停驶损失险、车上责任险和车载货物掉落责任险等。车主只有投保了基本险以后才能投保附加险。在这些保险条款中根本不存在因投保人(车主)的不同而变动保险费率的条款。



　　美国的保险公司指出，同样的汽车，有的用户投保之后并没有出交通事故，有的用户则经常出交通事故，对二者收取同样的保险费既不合理，也不利于鼓励投保人谨慎驾驶和避免交通事故。保险公司希望投保人不出保险事故或尽量少出事故，因为保险公司不但要为用户保险，也要为自身“保险”：不能赔本，要赚钱，争取利润最大化。保险公司这种理念，反映在它对完全相同的投保对象却因人而异的按不同的费率收取不同的保险费。



在美国影响汽车保险费率高低的人为因素主要如下：



　　第一是驾驶记录。上一年既没有出应承担责任的交通事故，也没有由于违章驾驶而被交通法庭罚款的驾驶者，在延长保险合同时，保险费率会在原来的基础上下降10％—15％；反之，保险费率会上升，上升的幅度依事故的大小、投保人应承担责任的轻重、被罚款的多寡而定。对经常承担交通事故责任的驾驶者，以及造成人身伤亡和重大经济损失的驾驶者，保险公司往往不愿再延长其保险合同。



　　有良好记录的驾驶者，保险公司抢着要。例如，20世纪保险公司最近推出新的汽车保险项目：投保人必须是3年以上没有出任何交通事故，也没因违章驾驶而被交通法庭罚款的驾驶者，20世纪保险公司保证将减少收其大约一半的保险费。而被一般保险公司拒绝延长保险合同的驾驶者，只能向州政府特许的一家特殊的保险公司申请投保，应交纳的保险费是一般保险费的3倍以上，因为他们出交通事故的概率大，不如此保险公司将自身难保。



　　第二是驾驶者的年龄因素。交通事故数据分析表明：16～25岁的青年人，特别是未婚青年，出交通事故的概率最高；60岁以上的老人出交通事故的概率次之；概率最低的是26～59岁的中年人，(特别是44～55岁的中年人)。专家们认为，这主要是因为中年人有强烈的家庭责任感，驾驶时特别小心谨慎的缘故。因此，在其他条件完全相同的情况下，保险公司对中年人收取的保险费最低，对老年人收取的保险费稍高一点，对未婚的青年人，特别是十七八岁的小伙子收取的保险费最高。



　　第三是家庭成员因素。在美国，成年人几乎人人开车，用一个家庭成员的名字投保的汽车，其他的家庭成员不可能完全不开。因此，保险公司对家庭成员多的车主收取的保险费高，对家庭成员中有16～25岁未婚青年的车主收取的保险费尤其高。反之就低。如果一个家庭有多辆汽车在同一个保险公司投保，第一辆之后的汽车可以享受保险费优惠。因为车多，平均每辆车出行的时间相对减少，发生交通事故的概率也相应降低一些。



　　第四是地区因素。交通事故数据分析还表明：在象洛杉矶、纽约这样的大都市地区，由于车辆多，交通阻塞严重，发生交通事故的概率要高一些；而在一些中小城市，特别是在郊区和农村地区，车稀人少，交通事故发生率要低得多。因此，大都会地区的汽车保险费率相对较高，而在郊区和农村地区的汽车保险费率较低。



　　综上所述，在美国汽车保险费率的厘定更多地关注投保人的因素：即关注投保人的驾驶记录；投保人的年龄；投保人的家庭成员的结构和投保人所处的地区。通过对投保人这4项因素的综合考虑，从而确定投保汽车的保险费率的高低，充分体现了公平和效率原则。



　　在中国，汽车保险是财产保险的第一大险种，财产险的60％是汽车保险。2001年，太平洋保险公司85亿多元的保费收人中就有52亿多元来自汽车保险。



　　汽车险是保险公司口中的一块肥肉，但对消费者来说，强制的汽车保险常常是投保者难以下咽的一杯苦酒。首先是全国统一的保险费率偏高，如果一个家庭买一辆10万元左右的轿车，一年需各种费用1．2万元左右，其中保费就达4000元左右。并且，汽车保险费率的厘定完全忽略最根本的人的因素。对投保人的驾驶记录、投保人的年龄、投保人的家庭成员结构和投保人所处的地区，以及投保人的工作性质，不作任何区分，实行统一的费率征收保险费。如此以来，根本不能促进投保人谨慎驾驶，努力降低交通事故的发生，更无从体现保险活动中的公平和效率。从宏观而言，不利于整个社会提升风险防范意识。中央财经大学保险系主任郝演苏教授认为，中国的汽车保险费不仅偏高，而且从学术角度讲，可以充分肯定是一种暴利。



　　不过，随着中国加入WTO，中国保险公司的暴利时代开始走向终结。2001年10月，中国保监会在广东开始汽车保险费率改革的试点，保险公司可以自己确定保险费率。广州的几家产险公司随后把车险费率下调了20％。12月下旬，华泰保险广州分公司大幅下调汽车费率，其中部分费率下调幅度高达55％。业内人士预计，随着汽车保险费率在全国范围内放开，中国的保险市场上难免会有一场价格战。



　　更令可喜的是，中国太平洋保险公司2001机动车辆保险条款中有了“无赔款优待条款”，即“31条：保险车辆在上一年保险期限内无赔款，续保时可以享受无赔款减收保险费的优待，优待金额为本年度续保险种应交保险费的10％。”



　　这一条款的出现或多或少地体现了我国保险活动中的人性化因素，但若仅仅停留于此还远远不够。在我国已加入WTO和面对21世纪的今天，我国的各大保险公司必须以开阔视野、纳新而创新的思维开拓进取，提供广大投保人全方位人性化的服务，才能面对全球化的激烈竞争，与时俱进。




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