问题: 极值
三角形三角为ABC
求cosAcosBcosC的最大值...
弱运用到的三角恒等式...请给予证明...
解答:
三角形三角为ABC
求cosAcosBcosC的最大值...
弱运用到的三角恒等式...请给予证明...
解 cosAcosBcosC的最大值为1/8。即证明
8cosA*cosB*cosC=<1 (1)
显然钝角三角形(1)式成立。下面仅需证明锐角三角形情况。
由均值不等式得:
8cosA*cosB*cosC=<[2(cosA+cosB+cosC)/3]^3
而2(cosA+cosB+cosC)=2-4[sin(A/2)]^2+4cos[(B+C)/2]*cos[(B-C)/2]
=<2-4[sin(A/2)]^2+4cos(A/2)
=3-[2sin(A/2)-1]^2=<3
所以 2(cosA+cosB+cosC)=<3，
故8cosA*cosB*cosC=<[2(cosA+cosB+cosC)/3]^3=<1。
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