按照你所给的顺序，由上而下依次为1、2、3、4、5

1.原式
(1/n)*(1+sinx)^<1/n-1>*cosx
=—————————————（洛必塔法则，分子分母求导）
sec^x

(1/n)*(1+sinx)^<1/n-1>*cosx
=———————————————
1+sin^x

=1/n

2.原式（同理1）
e^x-e^<-x>*(-1)
=—————————
cosx

e^x+e^<-x>
=——————
cosx

=2

3.你的题目应该掉了一个括号，应该是：
(1-cosx)(1-cosx/2)
——————————（不然的话分子=1，那么极限为无穷大）
ln(1+x^4)

sinx(1-cosx/2)+(1-cosx)sin(x/2)(1/2)
=———————————————————（同理1）
(4x^3)/(1+x^4)

(1+x^4)(1-cosx/2) (1+x^4)(1-cosx)(1/4)
=[—————————]+[————————————]
4x^2 4x^2

4x^3(1-cosx/2)+(1+x^4)sin(x/2)(1/2)
=——————————————————— +
16x

4x^3(1-cosx)+(1+x^4)sinx
——————————————
32x

4x^(1-cosx/2)+(1+x^4)(1/2)(1/2)
=————————————————
16

4x^2(1-cosx)+(1+x^4)
+————————————
32

=(1/64)+(1/32)

=3/64

5.原式（同理1）
cos(x-π/3)
=——————-
2sinx

=1/2sin(π/3)

=√3/3

4.原式

=lim[e^x(1+x/e^x)]^(1/x)
=lim(e^x)^(1/x)*lim(1+x/e^x)^(1/x)
=e*lim[(1+x/e^x)^(e^x/x)]^[(x/e^x)*(1/x)]
=e*lime^(1/e^x)
=e*e
=e^