设f(x)=0在区间[a,b]上有一个根x*。可以把方程等价的改写成f1(x)=f2(x),并假设对于任何实数c都很容易得到方程f1(x)=c在区间[a,b]中的一个根。于是可以建立迭代法f1(xk+1)=f2(xk),假设对于所有的x,y∈[a,b]都有f2(x)∈[a,b],而且|f2'(x)/f1'(y)|<1.证明该迭代法收敛。

哪位高手帮帮忙 不甚感激！！！

1.
显然只有唯一x*,使f1(x*)=f2(x*),
因为若有u>v,f1(u)=f2(u),f1(v)=f2(v),
则有c,d使
f1'(c)=[f1(u)-f1(v)]/[u-v]=
=[f2(u)-f2(v)]/[u-v]=f1'(d)
和|f2'(x)/f1'(y)|<1矛盾.

2.
x(1)∈[a,b],f1(x(k+1))=f2(x(k)),x(1)≠x*.
==>
f1(x(k+1))-f1(x*)=
=f1'(c(k))[x(k+1)-x*]=
=f2(x(k))-f2(x*)=
=f2'(d(k))[x(k)-x*]
==>
|[x(k+1)-x*]/[x(k)-x*]|=|f2'(d(k))/f1'(c(k))|<1
==>
|x(k+1)-x*|<|x(k)-x*|
==>
A=Lim{n→∞}|x(n)-x*|存在.

3.
==>
|x(n)-x*|=A+B(n),Lim{n→∞}B(n)=0
==>
x(n)=x*+C(n)[A+B(n)],C(n)=±1
ⅰ.
若有无穷C(n(k))=C(n(k)+1),
比如:C(n(k))=C(n(k)+1)=1
==>
Lim{k→∞}f1(x(n(k)+1))=f1(x*+A)=
=Lim{k→∞}f2(x(n(k)))=f2(x*+A)
根据1.得:
A=0

ⅱ.
若没有无穷C(n(k))=C(n(k)+1),
则可设n>N时,
x(2n)=x*+[A+B(2n)],x(2n+1)=x*-[A+B(2n+1)],
==>
Lim{n→∞}f1(2n+1))=f1(x*-A)=
=Lim{n→∞}f2(x(2n))=f2(x*+A)

Lim{n→∞}f1(2n+2))=f1(x*+A)=
=Lim{n→∞}f2(x(2n+1))=f2(x*-A)
==>
f1(x*-A)-f1(x*+A)=f2(x*+A)-f1(x*-A),
根据|f2'(x)/f1'(y)|<1得:
A=0.

4.
==>
Lim{n→∞}|x(n)-x*|=0
==>
Lim{n→∞}x(n)=x*
==>
该迭代法收敛。