己知A，B，C均为锐角，令tanA=p，tanB=q，tanC=r，当A+B+C多少时，pq+qr+rp<1。
解 记T=pq+qr+rp-1,X=cosA*cosB*cosC，则
T=tanA*tanB-tanB*tanC-tanC*tanA-1
=sinA*sinB/cosA*cosB+sinB*sinC/cosA*cosC+sinC*sinA/cosC*cosA-1
=[sinA*sinB*cosC+sinB*sinC*cosA+sinC*sinA*cosB-X]/X
=[sinB*sin(A+C)-cosB*cos(A+C)]/X
=-[cos(A+B+C)]/(cosA*cosB*cosC)
因为A，B，C均为锐角，所以X>0.
欲使T<0，只需cos(A+B+C)>0,
而0<A+B+C<3π/2，所以0<A+B+C<π/2.
故当A+B+C为锐角时，pq+qr+rp<1成立。
当A+B+C=π/2时，pq+qr+rp=1
当A+B+C>π/2时，pq+qr+rp>1。
此命题很好！！
