设f(x)=0在区间[a,b]上有一个根x*，而且0<m≤f’(x)≤M,证明：对于任何x0∈[a,b]，迭代法xk+1=xk-λf(xk) k=0,1,2...当0≤λ≤2/M时都收敛。并求出最好的λ。


0<λ<2/M时还好说，关键是λ=0和2/M时怎么证明。还有，求最好的λ就是要迭代函数的收敛阶数越高越好，那样求出来的不是一个数，而是一个和f’(x) 有关的式子。请高手指点，不甚感激！

需用http://iask.sina.com.cn/b/13839501.html(简称"前一题")中的结论和记号.需加条件"在任何区间f’(x)不恒等于M."否则错.
==>
x>x*,f(x)<M(x-x*)

1.
λ=0时,x(k+1)=x(k),不用讨论.

2.
0≤λ<2/M时,
设f1(x)=x,f2(x)=x-f(x)使用"前一题"的结论，则迭代收敛．

３．
λ＝2/M时,"前一题"的结论中的3.ⅱ.以前的部分都正确,
对于3.ⅱ.
==>
f1(x*-A)=f2(x*+A)
==>
x*-A=x*+A-(2/M)f(x*+A)
==>
f(x*+A)=MA,
==>
若A>0和f(x)<M(x-x*)矛盾.
所以λ＝2/M时,迭代收敛．

4.
|x(k+1)-x*|=|x(k)-x*||1-λf’(c(k))|≤
≤|x(k)-x*|Max{|1-λm|,|1-λM|},
而Max{|1-λm|,|1-λM|}在λ=2/(m+M)时(0<λ≤2/M),取最小值,
即最好的λ=2/(m+M),代入λ=2/(m+M)得:
|x(k+1)-x*|≤|x(k)-x*|[(M-m)/(m+M)]
==>
|x(k+1)-x*|≤|x(1)-x*|[(M-m)/(m+M)]^k.