已知5个数依次是13，12，15，25，20.每相邻的两个数相乘得4个数，这4个数每相邻的两个数相乘得3个数，这3个数没杏林的两个数相乘得两个数。这两个数相乘得一个数。请问最后这个数从个位起向左数，可以连续数到几个0

【问题 13 】 已知5个数依次是13、12、15、25、20，它们每相邻的两个数相乘可以得到4个数；这4个数每相邻的两个数相乘可以得到3个数；这3个数每相邻的两个数相乘可以得到2个数；这两个数相乘最后得1个数。问最后这个数从个位起左数，可以连续地数到几个“0” ？



【分析与解】 为了便于很快找出积的末尾有多少个“0”，先来看另外一道题：

假若把从1—100这一百个连续自然数连乘，得到的积是A×10N，求N的值。这个“N”，事实上就是积的末尾连续“0”的个数。

我们知道，积的末尾要有“0”，积的因数中必须要有质因数2和5，有多少对2和5，就有多少个“0”。

在1—100的连续自然数中，5比2少，因此，只要找出5的个数就可以知道有多少个“0”了。那么，5的个数是20吗？显然不止。

因为在25，50，75和100这四个数中，它们都各有2个质因数5，这样就应该有（20＋4 =）24个质因数5，那么，积的末尾有24个“0”，

所以N = 24。

2的个数：[100/2]＋[100/22] = 50＋25 = 75（个），

5的个数：[100/5]＋[100/52] = 20＋4 = 24（个）。

即积的末尾有24个“0”。



解一： “问题14”与这道题大同小异。所谓“大同”是指积末尾“0”的个数；而“小异”是质因数2和5被多次应用（相邻数的积分别有4个，3个，2个，1个）。下面我们就来讨论“问题14”：

首先，看看2和5的个数：13中既没有质因数2也没有质因数5；12中有（3×2×2）2个质因数2；15中有（3×5）1个质因数5；25中有（5×5）2个质因数5；20中有（2×2×5）2个质因数2和1个质因数5。

它们一共有4个质因数2和4个质因数5，即：

2×2×2×2×5×5×5×5 = 24×54 = （2×5）4 = 104。

其次，根据题意，每相邻两个数相乘，会出现4、3、2、1次积。

4＋3＋2＋1 = 10（次），也就是104×（103×102×101 ）= 1010。即最后的积从个位起左数，一共有10个连续的“0”。



解二： 如果我们用数表排列，也可以得到同样的结果：

原来五个数： 13 12 15 25 20

第一次的积： 13×12，12×15，15×25，25×20

22， 22×5， 53， 22×53

第二次的积： 24×5， 22×54， 22×56

第三次的积： 26×55， 24×510

第四次的积： 210×515 （因为2的个数少，按少的取：）

210×510 =（2×5）10 = 1010

即积的末尾一共有10个连续的“0”。