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问题: 高一函数

已知函数f(x)=(p x²+2)/(q-3x)是奇函数,且f(2)= -5/3.
1.求函数f(x)的解析式
2.求证:f(1/x)=f(x)
3.判断函数f(x)在(0,1)上的单调性,并加以证明

解答:

1.f(x)=(p x²+2)/(q-3x)=-f(-x)=-(px²+2)/(q+3x)
∴q=0
∴f(x)=-(p x²+2)/(3x)
∵f(2)= -5/3
∴p=2
∴f(x)=-(2+2x^2)/(3x)
2.f(1/x)=-(2+2/x^2)/(3/x)=-(2+2x^2)/(3x)=f(x)
∴得证
3.f(x)=-2/3*(x+1/x)
∵y=x+1/x在(0,1]单调递减
∴f(x)=-2/3*(x+1/x)在(0,1)单调递增
令0<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)=-2/3(x1+1/x1-x2-1/x2)=-2/3(x1-x2)(x1x2-1)/x1x2
∵x1-x2<0,x1x2-1<0,x1x2>0
∴f(x1)-f(x2)<0
∴f(x)在(0,1)上单调递增