问题: 数列
2.已知正项数列{an}的首项a1=--1/35, 函数f(x)=x/(1+3x)
(1)若数列{an}满足a(n+1)=f(an)(n>=1且n属于N),试证明数列{1/an}是等差数列,并求出数列<an>的通项公式;
(2)求数列{1/an}的前n项和Sn,并指出当n取何数时,Sn有最小值,最小值是多少?
解答:
(1)根据a{n+1}=f(an）=an/(1+3an)
于是 1/a{n+1}=1/an + 3
1/a{n+1}-1/an = 3 得到{1/an}是等差数列，公差为3
因为a1=--1/35，于是1/a1 =-35
那么 1/an = -35+（n-1）*3=3n-38
于是an=1/(3n-38)
(2)1/an = 3n-38
Sn=(首项+末项)*n/2=(-35+3n-38)*n/2=n(3n-73)/2
只要1/an是负数，Sn就持续减小
3n-38<0,n<12.667
于是n=12时Sn取得最小值S{12}=12*(3*12-73)/2=-222
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