问题: 椭圆的简单几何性质
中兴在原点 一个焦点为F2（0,5）的椭圆被直线y=3×x-2截得的弦的中点的横坐标为0.5 求此椭圆的方程
解答:
设:方程为y^2/a^2+x^2/b^2=1,直线与椭圆的交点为(x1,y1)(x2,y2).因为一个焦点为F2（0,5)所以a^2-b^2=25.将(x1,y1)(x2,y2)代入椭圆方程,得(y1)^2/(25+b^2)+(x1)^2/b^2=1,(y2)^2/(25+b^2)+(x2)^2/b^2=1.两式相减得(y1-y2)(y1+y2)/(25+b^2)+(x1-x2)(x1+x2)/b^2=0.因为中点的横坐标为0.5,且中点在直线上,所以中点的纵坐标为-0.5,x1+x2=1,y1+y2=-1,(y1-y2)/(25+b^2)=(x1-x2)/b^2,又因为交点(x1,y1)(x2,y2)在直线上,所以(y1-y2)/(x1-x2)=3,3/(25+b^2)=1/b^2,b^2=25/2,a^2=75/2,椭圆的方程为y^2/(75/2)+x^2/(25/2)=1
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