问题: 双曲线
F1,F2是双曲线x^2/4a^2-y^2/a^2=1(a>0)的两个焦点,P为双曲线上一点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的面积为1,则a的值是
解答:
由实轴的平方=4a^2,虚轴的平方=a^2,可得半焦距c=√4a^2+a^2=(√5)a,所以F1((-√5)a,0),F2((√5)a,0).设P(x1,y1)是双曲线上任意一点，因为PF1垂直PF2,所以两直线的斜率相乘=-1，即
{y1/[x1+(√5)a]}*{y1/[x1-(√5)a]}=-1,
化简得x1^2=5a^2-y1^2 ①
又因为x1^2/4a^2-y1^2/a^2=1 ②
联立①②得y1^2=a^2/5③
又因为S=(1/2)|F1F2||y1|=(1/2)*2(√5)a*|y1|=1
化简得 y1=1/[(√5)a]④
由③④得 a^2/5=1/[(√5)a]
解之得a=1
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