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问题: 初二奥数

 1.证明:如果a是一个大于1的整数,而所有小于或等于根号a的质数都不能整除a,那么a是质数.
 2.已知m,n是正整数,n≤100.在将分数m/n化成十进位制小数时,一位学生得到小数点后连续三位上的数字为1,6,7.证明:该生计算有误.
3.设A,B,C,D是平面上的四点,其中任意3点不共线.求证:总能在其中选出3点,使这3点组成的三角形至少有一个内角不大于45度.
(大家能做几道算几道,帮帮忙~!!)

解答:

1.证明(反证法): 假设a是合数,则a一定能分解为一个质数m和一个整数n的乘积,即a=m*n。
(1)若m<=√a,则至少存在一个小于或等于根号a的质数能整除a.(注:a/m=n),与“所有小于或等于根号a的质数都不能整除a”矛盾,所以假设不成立,所以a是质数。
(2)若m>√a,则n<=√a.
(i)若n是质数,由(1)可知a是质数。
(ii)若n是合数,则n一定能分解为一个质数x和一个整数y的乘积,即n=x*y。同时x<n<=√a.再由(1)可知a是质数。
证毕。

2.证明(反证法):假设该生计算无误,即m/n=x+0.167,其中x为m/n化成十进位制小数时的整数部分。
所以m/n=167/1000+x=(1000x+167)/1000,
注意到1000=2*2*2*5*5*5,而分子个位是7,
所以(1000x+167)与1000互质,
所以必存在正整数k使n=1000k>=1000,
这与n≤100矛盾。
所以假设不成立,即该生计算有误.
证毕。

3.证明(反证法):假设平面上任意四点A,B,C,D中任意三点组成的三角形的任意一个内角均大于45°,
(i)若三角形ABC为锐角三角形,做AD垂直BC于F,取AF延长线上某点为D,则由角DAB>45°,角B>45°推出角AFB=180°-A-B<90°,与AD垂直BC矛盾,所以假设不成立,即总能在其中选出3点,使这3点组成的三角形至少有一个内角不大于45度.
(ii)若三角形ABC为直角三角形,不妨设A=90°,再由B>45°,C>45°推出A+B+C>180°,这与“三角形内角和等于180°”矛盾,所以假设不成立,即总能在其中选出3点,使这3点组成的三角形至少有一个内角不大于45度。
(iii)若三角形ABC为钝角三角形,不妨设A>90°,再由B>45°,C>45°推出A+B+C>180°,这与“三角形内角和等于180°”矛盾,所以假设不成立,即总能在其中选出3点,使这3点组成的三角形至少有一个内角不大于45度。
证毕。