问题: 初中几何
初中几何
设P是三角形ABC平面上任一点, P到边BC,CA,AB的距离分别为PD,PE,PF，问P在何处时, 才使PD^2+PE^2+PF^2为最小.
解答:
初中几何
设P是三角形ABC平面上任一点, P到边BC,CA,AB的距离分别为PD,PE,PF，问P在何处时, 才使PD^2+PE^2+PF^2为最小.
解 设S为三角形ABC的面积，令BC=a,CA=b，AB=c，则有
a*PD+b*PE+c*PF=2S (1)
据柯西不等式得:
(a^2+b^2+c^2)*(PD^2+PE^2+PF^2)≥(a*PD+b*PE+c*PF)^2=4S^2.
即
PD^2+PE^2+PF^2≥4S^2/(a^2+b^2+c^2) (2)
根据取等条件:PD/a=PE/b=PF/c，易求得，当
PD=2aS/Σa^2, (3-1)
PE=2bS/Σa^2, (3-2)
PF=2cS/Σa^2 (3-3)
时，(2)式取等号。
满足(3)的点为三角形类似重心。
所以当P为三角形类似重心时，PD^2+PE^2+PF^2为最小.
最小值为4S^2/(a^2+b^2+c^2).
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