设函数 f(x)=lnx/ln(x+1)-lnx+ln（x+1），是否存在实数 ,使得关于 的不等式f(x)≥a的解集为 ?若存在,求 的取值范围;若不存在,试说明理由.

f(x)的定义域:（0,+∞)

1.
f '(x)=-lnx/(1+x)^2,
当0<x<1时，有f'(x)>0，f(x)单调增加；
当x>1时，有f'(x)<0，f(x)单调减少。
f(x)在x=1点处有极大值f(1)=ln2。
A=Lim{x→+∞}f(x),B=Lim{x→0}f(x)
==>
f(x)>C=Min{A,B},且若a>C,有x>0使f(x)<a.
所以a≤C,{x,f(x)>a}=(0,+∞)
a>C,{x,f(x)≥a}≠(0,+∞)

2.
证明:Lim{x→+∞}lnx/x=0,u=lnx==>
Lim{x→+∞}lnx/x=Lim{u→+∞}u/e^u

记[u]=u的整数部分,d=e-1>0
0<u/e^u<(1+[u])/{1+e-1}^[u]=<(1+[u])/{1+d}^[u]<
<(1+[u])/{1+[u]d+[u]([u]-1)d^2/2}
Lim{u→+∞}(1+[u])/{1+[u]d+[u]([u]-1)d^2/2}=0
两边夹的定理==>
Lim{u→+∞}u/e^u=0

3.
Lim{x→0}xlnx,u=1/x
Lim{x→0}xlnx=Lim{u→+∞}[-lnu/u]=0

4.
A=Lim{x→+∞}f(x)=
=Lim{x→+∞}[lnx/(1+x)]+Lim{x→+∞}ln(1/x+1)=
=0+0=0

B=Lim{x→0}f(x)=
=Lim{x→0}[-xlnx/(1+x)]+Lim{x→0}ln(x+1)=0+0=0

==>
a的取值范围=(-∞,0].