命题 D是RtΔABC的斜边BC上一点，且ΔABD与ΔACD的内切圆相等，S表示RtΔABC的面积。求证:S=AD^2 。

证明 设S1,S2分别表示ΔABD与ΔACD的面积.
作DE⊥AB于E，DF⊥CA于F。设AB=c,CA=b，BD=n,CD=m。
由相似三角形知:
DE=nb/(n+m), DF=mc/(n+m)，
在RtΔADE中，由勾股定理得:
AD^2=(n^2*b^2+m^2*c^2)/(n+m)^2。
因为ΔABD与ΔACD的内切圆半径相等,即
2S1/(AD+c+n)=2S2/(AD+b+m)
且S1:S2=n:m，
有n/(AD+c+n)=m/(AD+b+m)
<==> AD(m-n)=nb-mc
若m=n，则得 b=c，S=AD^2 显然成立。
若m≠n，则
(nb-mc)^2/(m-n)^2=(n^2*b^2+m^2*c^2)/(n+m)^2。
<==> n^2*b^2+m^2*c^2=bc*(n+m)^2/2,
即得 AD^2=bc/2=S。